四个神秘缩写的来历：从轴承几何参数第一性推导BPFO/BPFI/BSF/FTF
引子
轴承型号6205，转速1800 RPM，包络谱107.2 Hz处出现一个清晰峰值。你的第一反应是什么？
如果你需要翻手册、查软件、问厂家，那说明这四个缩写——BPFO、BPFI、BSF、FTF——对你来说还只是"软件算出来的数字"，而不是可以从几何关系第一性推导出来的物理量。
亚里士多德最早提出"第一性原理"：认识事物要从最基础的、不可再分的命题出发，而不是依赖类比和现成结论。两千多年后，这个思维方式被工程师和创业者反复验证——当你真正理解一个频率是怎么算出来的，你才知道±5%的容差意味着什么，才知道为什么内圈故障有1×轴频边带而外圈故障通常没有，才不会被软件报警牵着鼻子走。
这一篇是专题里最硬核的一篇。我们不查表、不依赖软件，从轴承的五个几何参数出发，一步一步推导出四个故障特征频率，并以工业最常用的SKF 6205深沟球轴承为算例，算出每个频率的精确数值。
一、五个基础参数与四个故障频率
滚动轴承的故障特征频率完全由其几何结构和转速决定。先定义五个基础参数：
- N：滚动体数量（个）
- B_d：滚动体直径（mm）
- P_d：节圆直径（mm），即滚动体中心所在圆的直径
- α：接触角（°），滚动体与滚道接触点法线与径向平面的夹角；深沟球轴承在纯径向载荷下通常为0°
- f_r：轴的旋转频率（Hz）= RPM / 60
这五个参数全部可以从轴承型号手册或直接测量得到，没有任何"黑箱"。
在纯滚动无滑动的理想假设下，轴承有四个基本故障特征频率：
| 缩写 | 全称 | 物理含义 |
|---|---|---|
| BPFO | Ball Pass Frequency Outer race | 滚动体经过外圈固定缺陷的频率 |
| BPFI | Ball Pass Frequency Inner race | 滚动体经过内圈旋转缺陷的频率 |
| BSF | Ball Spin Frequency | 滚动体绕自身轴线旋转的频率 |
| FTF | Fundamental Train Frequency | 保持架绕轴承轴线旋转的频率 |
下面逐个推导。
二、FTF：保持架频率——推导的起点
保持架把滚动体均匀隔开并带动它们公转。保持架频率是其他三个频率推导的基础。
物理图像：内圈随轴以f_r旋转，外圈固定。滚动体在内、外圈之间做纯滚动。保持架的转速等于滚动体中心（即节圆处）的公转线速度对应的角速度。
当一个滚动体在内外圈之间纯滚动时，其与内圈接触点的线速度等于内圈滚道线速度，与外圈接触点的线速度等于外圈滚道线速度（外圈固定时为0）。滚动体中心的线速度是这两者的平均值。
内圈滚道的半径为 (P_d − B_d)/2，线速度为：
v_i = 2π f_r × (P_d − B_d·cosα)/2
外圈滚道半径为 (P_d + B_d)/2，固定时v_o = 0。
滚动体中心位于节圆上，其线速度为内外圈接触点线速度的平均：
v_c = (v_i + v_o)/2 = π f_r × (P_d − B_d·cosα)/2
保持架的角速度等于v_c除以节圆半径P_d/2：
FTF = v_c / (π P_d) = (f_r/2) · (1 − (B_d/P_d)·cosα)
这就是保持架频率公式。它总是小于0.5×f_r，对深沟球轴承通常在0.35–0.45×f_r范围。
三、BPFO与BPFI：内外圈缺陷通过频率
BPFO（外圈故障）：外圈固定，缺陷位置不动。每个滚动体随保持架公转，经过该缺陷一次。单位时间内经过缺陷的滚动体数等于滚动体数量N乘以保持架频率FTF：
BPFO = N · FTF = (N/2)·f_r·(1 − (B_d/P_d)·cosα)
BPFI（内圈故障）：内圈随轴以f_r旋转，缺陷也以f_r旋转。滚动体中心以FTF公转。滚动体相对于内圈缺陷的通过频率，等于两者角速度之差乘以滚动体数量：
滚动体相对内圈的角速度 = f_r − FTF（内圈转得比保持架快）
BPFI = N·(f_r − FTF) = N·[f_r − (f_r/2)(1 − (B_d/P_d)cosα)]
= (N/2)·f_r·(1 + (B_d/P_d)·cosα)
对比两个公式可以看到一个对称性：BPFO用减号，BPFI用加号。因此BPFI始终大于BPFO。物理上，内圈在转动，滚动体经过旋转内圈缺陷的相对速度高于经过固定外圈缺陷的速度。
关键差异——边带：
- 外圈缺陷固定在载荷区，每个滚动体经过时的冲击幅度相近，BPFO谱线通常没有1×轴频边带
- 内圈缺陷随轴旋转，周期性进入和离开载荷区，冲击幅度被轴频调制，BPFI谐波两侧会出现间隔为f_r的1×轴频边带
这个边带特征是区分内圈故障和外圈故障的重要诊断依据。
四、BSF：滚动体自旋频率
滚动体在内外圈滚道之间不仅公转，还绕自身轴线自转。
物理图像：考虑滚动体与外圈接触点。外圈固定，该接触点瞬时速度为0（纯滚动条件）。滚动体中心以保持架线速度v_c平动，同时滚动体以BSF绕自身轴转动。接触点相对于滚动体中心的自转线速度为 π·B_d·BSF（B_d为滚动体直径）。为使接触点绝对速度为0，自转线速度必须等于公转平动速度：
π·B_d·BSF = v_c × 2 / (1 − (B_d/P_d)cosα)
经过化简（代入v_c和FTF关系），得到：
BSF = (P_d/(2·B_d))·f_r·(1 − (B_d/P_d)²·cos²α)
在频谱中，滚动体缺陷通常在2×BSF处出现峰值。原因是：滚动体表面的一个缺陷每转一圈，会分别与内圈和外圈各接触一次，产生两次冲击。此外，2×BSF谱线两侧常出现FTF边带——因为缺陷滚动体在保持架中的位置随保持架公转，冲击幅度被保持架频率调制。
五、完整算例：SKF 6205 @ 1800 RPM
SKF 6205是工业最常用的深沟球轴承之一，也是凯斯西储大学（CWRU）标准轴承数据集使用的型号。其几何参数为：
- N = 9（9个滚动体）
- B_d = 7.938 mm（5/16英寸）
- P_d = 38.50 mm
- α = 0°（深沟球轴承，纯径向载荷）
- 转速 = 1800 RPM → f_r = 30 Hz
先算比值：B_d/P_d = 7.938/38.50 = 0.2062
FTF（保持架频率）：
FTF = (30/2)·(1 − 0.2062·cos0°)
= 15·(1 − 0.2062)
= 15·0.7938
= 11.91 Hz
BPFO（外圈故障频率）：
BPFO = (9/2)·30·(1 − 0.2062)
= 135·0.7938
= 107.16 Hz ≈ 107.2 Hz
BPFI（内圈故障频率）：
BPFI = (9/2)·30·(1 + 0.2062)
= 135·1.2062
= 162.84 Hz ≈ 162.8 Hz
BSF（滚动体自旋频率）：
BSF = (38.50/(2·7.938))·30·(1 − 0.2062²)
= (38.50/15.876)·30·(1 − 0.0425)
= 2.425·30·0.9575
= 69.72 Hz
2×BSF = 139.4 Hz
这组数值与CWRU数据集、SKF官方计算工具及VibroMera在线计算器的结果一致（CWRU实验实际转速为1797 RPM，对应BPFO≈107.4 Hz，差异来自转速）。
| 特征频率 | 计算值（1800 RPM） | 对应关系 | 频谱特征 |
|---|---|---|---|
| FTF | 11.9 Hz | 0.397×f_r | 次同步，需低频分辨率 |
| BPFO | 107.2 Hz | 3.57×f_r | 离散峰+谐波，通常无轴频边带 |
| BPFI | 162.8 Hz | 5.43×f_r | 离散峰+谐波，两侧有1×f_r边带 |
| BSF | 69.7 Hz | 2.32×f_r | 通常在2×BSF=139.4 Hz出现峰值，伴FTF边带 |
六、纯滚动假设与±5%容差
以上所有推导基于一个理想假设：滚动体与滚道之间是纯滚动，无滑动。
实际运行中，这个假设并不严格成立。径向游隙、轴向载荷、润滑状态、保持架间隙都会导致一定程度的滑动。转速变化也会使接触角α发生动态改变。因此，真实轴承的故障频率与纯滚动公式计算值之间存在偏差，工程上通常允许±5%的容差。
这意味着两件事：
第一，在包络谱中搜索故障频率时，不应把搜索窗口设得太窄。以BPFO=107.2 Hz为例，实际峰值可能出现在102–113 Hz范围内。把软件报警阈值精确卡在107.2 Hz反而会漏报。
第二，当你在包络谱中发现一个峰值，需要用计算值作为"搜索标记"而非"精确证明"。真正的故障判定还需要看：是否存在谐波序列（2×、3×BPFO）、是否有对应边带、幅值是否呈上升趋势、是否与运行工况相关。单一频率峰可能是机械干扰、电流信号或传感器共振，多维度交叉验证才能确诊。
七、实操：不知道轴承型号怎么办
制药企业的老旧设备经常遇到一个现实问题：轴承铭牌磨损、图纸缺失，无法直接获取N、B_d、P_d。这时有三种处理方式：
方法一：实测几何参数。 停机检修时用游标卡尺测量：滚动体直径B_d可直接测量；节圆直径P_d ≈ 外圈滚道内径 − B_d（或内圈滚道外径 + B_d）；滚动体数量N可目视计数。接触角对深沟球轴承取0°，对圆锥滚子轴承和角接触球轴承需查型号或测量。
方法二：从转速和谱线反推。 如果已有包络谱数据，观察是否存在一组等间距的谐波峰，其基频即可能是某个故障频率。结合转速计算f_r，通过比值（BPFO/f_r、BPFI/f_r通常在3–6范围）反推可能的参数组合。
方法三：用通用经验范围。 对大多数深沟球轴承：BPFO/f_r ≈ 3.0–4.0，BPFI/f_r ≈ 4.5–6.5，FTF/f_r ≈ 0.35–0.45。用这个范围在包络谱中搜索，再结合设备型号逐步收窄。
现代在线监测系统通常内置轴承数据库，输入型号即可自动加载四个特征频率。但理解公式推导的价值在于：当数据和软件结论冲突时，你有能力判断是轴承滑动、转速偏差还是软件参数配置错误——而不是盲目信任报警。
结语
第一性原理的力量在于拆解。BPFO、BPFI、BSF、FTF不是需要死记硬背的神秘缩写，而是轴承几何关系和运动学的必然结果。五个几何参数加一个转速，全部频率都能手算。
理解推导过程有三个实际收益：知道为什么内圈故障有轴频边带而外圈没有，知道±5%容差该如何设置搜索窗口，知道软件报警的物理依据是什么。这些判断能力，是设备工程师从"看数据"到"懂数据"的分水岭。
下一篇，我们拆解包络分析的完整信号链——从带通滤波到Hilbert变换，每一步为什么不能省、参数怎么选。用奥卡姆剃刀原则审视：如无必要，勿增实体。
振动信号分析专题，本期为第三篇。本文公式推导参考SIGVIEW Bearing Fault Envelope Analysis白皮书、iotbearings轴承频率计算及SKF 6205公开参数。
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相关笔记
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